Física 1 (Exactas) Practica 4.8 – Movimiento oscilatorio

Una bolita de masa m se mueve por un tubo delgado, carente de rozamiento, el cual describe una semicircunferencia de radio R. La bolita se halla sujeta por un extremo a un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀ = πR/2, y por el otro a una soga, deslizando ambos elementos por el interior del tubo, tal como muestra la Figura del extremo de la soga pende, a través de una polea, otro cuerpo de masa M que actúa como contrapeso. Considere la soga inextensible, y las masas de soga, resorte y poleas despreciables.

En el instante inicial la bolita se halla en el punto A (φ = 0) con velocidad v₀.

 

 

a)     Plantee las ecuaciones de Newton para cada una de las masas. Halle la ecuación diferencial que rige el movimiento de la bolita. 

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Bolilla m. Dirección radial: N – Pr = m ac

Bolilla m, Dirección tangencial: T - Fe – Pt = m at

Cuerpo M: PM – T = M a

 

Donde

N = reacción del tubo

Pr = componente radial del P = P cos φ

Pt = componente tangencial del P = P sen φ

P = peso = m g

φ = ángulo con la vertical

T = tensión de la soga

Fe = fuerza de elástica = k ∆l

k = constante del resorte

∆l = variación de la longitud del resorte = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado = R (φ + π / 2)

lo = longitud natural del resorte = π R/ 2

R = radio del tubo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular = dφ / dt

at = aceleración tangencial = γ R

γ = aceleración angular = d²φ / dt²

 PM = peso del cuerpo = M g

a = aceleración del cuerpo = at (soga ideal)

 

Sumando las ecuaciones de ambos cuerpos

PM - Fe – Pt = (m + M) a

 

Reemplazando

M g - k (R (φ + π / 2) – R π / 2) – m g sen φ = (m + M) R d²φ / dt²

 

Reordenando

 d²φ / dt²   + k / (m + M) φ + m g / ((m + M) R) sen φ = M g / ((m + M) R)

 

.d² φ / dt²  =  ω dω / d φ

 ω dω / d φ   = M g / ((m + M) R) - k / (m + M) φ - m g / ((m + M) R) sen φ

 

Integrando

 ω^2 / 2 =  M g  φ / ((m + M) R) – k / (m + M) φ^2 / 2  - m g / ((m + M) R) cos φ + C

 

Para t = 0; φ = 0 y v = vo

ωo^2 / 2 =   - m g / ((m + M) R) + C = (vo / R)^2

 

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)

 

  

b)     Halle gráficamente la o las posiciones de equilibrio de la bolita, determinando si corresponden a posiciones de equilibrio estable o inestable.

 

Posición de equilibrio (d² φ / dt² = 0)

 

k R φeq + m g sen φeq = M g

 

Reordenando

sen φeq = M / m -  k R / (m g) φeq

 

Con φ en el intervalo [-π/2; π/2] (ver figura)

 

Opción I. φ en el intervalo [0; π/2] à sen φ > 0

M /m -  k R / (m g) φeq > 0 à M g / (k R) > φeq

 

Comparando con el intervalo

0 < φeq < mínimo (M g / (k R) y π/2)

 

Opción II. φ en el intervalo [- π/2; 0 ] à sen φ <  0

M /m -  k R / (m g) φeq <  0 à M g / (k R) <  φeq

 

Comparando con el intervalo

No hay solución

 

Las funciones sen φeq y M / m -  k R / (m g) φeq tienen un único punto de intersección

 

Tipo de equilibrio – pequeñas perturbaciones

 

φ = φeq + ε

 

Con ε = pequeña perturbación

 

FN = M g - k R φ – m g sen φ

 

Con FN = fuerza neta

 

La serie de Taylor de 1er orden de FN en el entorno φeq

FN(φeq + ε) = FN(φeq) – (k R + m g cos φeq) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

(M + m) d² ε / dt² + (k R + m g cos φeq) ε = 0

 

La solución de esta ecuación es una funciona oscilatoria si

(k R + m g cos φeq) > 0

 

Comparando con el intervalo  

cos φeq > 0 entre [0; π/2] à  (k R + m g cos φeq) > 0 à equilibrio estable

 

 

c)     Halle la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el tubo sobre la bolita como función del ángulo φ.

 

Reemplazando en la ecuación radial de la Bolilla

N – m g cos φ = m v^2 / R

 

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)

 

Despejando N

N = m g cos φ + m v^2 / R

 

Con v^2

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)