Dos masas m1 y m2 están unidas por una soga inextensible de longitud L y de masa despreciable (ver Figura). Los dos cuerpos están sobre un riel que gira con velocidad angular ω constante y el riel no permite que los cuerpos se muevan hacia los costados. En el instante t = 0, la masa m1 se encuentra en la posición A con velocidad nula con respecto al riel.
a.
En un sistema no inercial solidario al riel, indique
cuáles son las fuerzas y cuáles son las pseudofuerzas que actúan sobre cada
masa. Identifique los pares de acción y reacción.
Cuerpo 1
Fuerzas de interacción
Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)
Fuerzas de interacción
b.
Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo en un
sistema no inercial solidario al riel.
Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)
Cuerpo1. Dirección radial: T –
P1r + Fcf1r = m1 anr
Cuerpo1. Dirección
perpendicular: N1p – P1p – Fcf1p – Fco1 = 0
Cuerpo1. Dirección lateral al
riel: N1l – Fco1 = 0
Cuerpo2. Dirección horizontal:
Fcf2 – T = m2 anx
Cuerpo2. Dirección
perpendicular: N2p – P2 = 0
Cuerpo2. Dirección lateral al
riel: N2l – Fco2 = 0
Donde
T = tensión de la soga
P1r = componente radial del
peso = P1 sen α
P1p = componente perpendicular
del peso = P1 cos α
P1 = peso masa 1 = m1 g
Fcf1r = componente radial de
la fuerza centrípeta = Fcf1 cos α
Fcf1p = componente
perpendicular de la fuerza centrípeta = Fcf1p sen α
Fcf1 = fuerza centrífuga de la
masa 1 = m1 ω^2 r
ω = velocidad angular
r = distancia al eje de rotación
N1p = reacción normal del riel
– perpendicular al plano
N1l = reacción normal del riel
– lateral al riel
Fco1 = fuerza de Coriolis = 2
m1 ω r (perpendicular al riel)
anr = aceleración según la
dirección radial = d2r / dt2
N2 = reacción normal del riel
N2p = reacción normal del riel
– perpendicular al plano
N2l = reacción normal del riel
– lateral al riel
Fcf2 = fuerza centrífuga de la
masa 2 = m2 ω^2 x
x = distancia al eje de rotación
anx = aceleración según la
dirección horizontal = d2x / dt2
Reemplazando
T – m1 g sen α + m1 ω^2 r cos α
= m1 d2r / dt2
m2 ω^2 x – T = m2 d2x
/ dt2
Relaciones de vinculo
L = x + r
Con L = longitud de la cuerda
anx = anr (cuerda
inextensible)
Reemplazando en las ecuaciones
de Newton
T – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d2x / dt2
m2 ω^2 x – T = m2 d2x / dt2
c.
Resuelva las ecuaciones de movimiento y describa cómo
será el movimiento de las partículas.
Sumando ambas ecuaciones
m2 ω^2 x – m1 g sen α + m1 ω^2
(L – x) cos α = m1 d2x / dt2 + m2 d2x / dt2
Reordenando
d2x / dt2 + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2)
x = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 + m2)
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) < 0 la solución es una función
exponencial
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) < 0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α < m2
Posición de equilibrio
m2 ω^2 xeq – m1 g sen α + m1 ω^2
(L – xeq) cos α = 0
despejando xeq
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
Definiendo la variable u
u = x - xeq
Reemplazando en la ecuación
diferencial
d2u / dt2 +
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) u = 0
Opción I .
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) > 0 la solución es una función
de oscilación (MAS)
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) > 0 à m1 cos α – m2 > 0 à m1 cos α >
m2
La solución de la ecuación
diferencial
u = A cos (Ω t + φ)
Reemplazando en x
x(t) = A cos (Ω t + φ) + xeq
Donde
A = amplitud de oscilación
Ω = velocidad angular de la
oscilación = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
φ = fase inicial
Para t = 0; x = L y v = 0
x(0) = A cos (φ) + xeq = L à A = (L – xeq)
v(0)
= dx / dt = - A Ω
sen (φ) = 0 à φ
= 0
Reemplazando
x(t) = (L – xeq) cos (Ω t) + xeq
Con
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
Ω = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
Opción II.
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) < 0 la solución es una función
exponencial
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) < 0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α < m2
La solución de la ecuación
diferencial
u = A e^(λt) + B e^-(λt)
Reemplazando en x
x(t) = A e^(λt) + B e^-(λt) +
xeq
Donde
A = amplitud de oscilación
λ = velocidad angular = ω
((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
Para t = 0; x = L y v = 0
x(0) = A + B + xeq
= L à A = (L – xeq) /2
v(0)
= dx / dt = A λ
- B λ = 0 à
A – B = 0 à A = B
Reemplazando
x(t) = (L – xeq) / 2 (e^(λt) + e^-(λt)) + xeq
Con
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
λ = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
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